অনুপাত-সমানুপাত | Ratio-Proportion

অনুপাত:
‘অনুপাত’ শব্দের অর্থ তুলনা করা। অর্থাৎ একই জাতীয় দুইটি রাশির মধ্যে তুলনা করাকে  অনুপাত (ratio) বলে।  অনুপাতের কোন একক নেই এবং এর গাণিতিক চিহ্ন ‘:’। মনে করি, X-এর মাসিক বেতন ১০,০০০ টাকা এবং Y-এর মাসিক বেতন ১২,০০০ টাকা।
অতএব, X ও Y-এর বেতনের অনুপাত= ১০০০০ : ১২০০০ বা ৫ : ৬ [উভয়কে ২০০০ দিয়ে ভাগ করে]
অনুপাত একটি প্রকৃত বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। X ও Y-এর বেতনের অনুপাত ৫ : ৬ কে ৫/৬ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায়।

দুইটি রাশির অনুপাত নির্ণয় করতে হলে প্রথম রাশিকে দ্বিতীয় রাশি দিয়ে ভাগ করা হয়। প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। যেমন- X ও Y-এর বেতনের অনুপাত= ৫ : ৬ । এখানে, ৫ হল পূর্ব রাশি এবং ৬ হল উত্তর রাশি। এ অনুপাতকে আবার সরল অনুপাতও বলা হয়।

গুরু অনুপাত: কোন অনুপাতের মান ১ অপেক্ষা বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন ৬ : ৫ বা ৬/৫ বা ৬÷৫ = ১.২। সূতরাং ৬ : ৫ একটি গুরু অনুপাত।

লঘু অনুপাত: আবার কোন অনুপাতের মান ১ অপেক্ষা ছোট হলে তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন ৫ : ৬ বা ৫/৬ বা ৫÷৬ = 0.833….। সূতরাং ৫ : ৬ একটি লঘু অনুপাত।

বিভিন্ন প্রকারের অনুপাত (different types of ratio):

ক) ব্যস্ত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিকে যথাক্রমে উত্তর রাশি ও পূর্ব রাশি ধরে যে অনুপাত পাওয়া যায়, তাকে প্রথম অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত (inverse ratio) বলে। যেমন- ৫ : ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত হল= ৬ : ৫।

খ) মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং  উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত পাওয়া যায়, তাকে মিশ্র অনুপাত (compound ratio) বলে। মনে করি, ৫ : ৬, ৩ : ৪ ও ২ : ৩ তিনটি সরল অনুপাত। এদের পূর্ব রাশি হল ৫, ৩ ও ২ এবং উত্তর রাশি হল ৬, ৪ ও ৩।  পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল ৫X৩X২ = ৩০ এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল ৬X৪X৩ = ৭২। তাহলে, প্রদত্ত অনুপাত তিনটির মিশ্র অনুপাত = ৩০ : ৭২।

গ) দ্বিগুণানুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গের অনুপাতকে দ্বিগুণানুপাত (double ratio) বলে। যেমন- ৫ : ৬ এর দ্বিগুণাপাত হল ৫: ৬= ২৫ : ৩৬।

ঘ) দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে দ্বিভাজিত অনুপাত (bisected ratio) বলে। যেমন- ২৫ : ৩৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত হল = √২৫ : √৩৬ = √৫: √৬ = ৫ : ৬।

সমানুপাত:
প্রদত্ত চারটি রাশি এমন থাকে যে, প্রথম রাশি ও ‍দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় রাশি ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তাহলে ঐ চারটি রাশি দিয়ে একটি সমানুপাত (proportion) হয়। সমানুপাতের প্রথম রাশি ও চতুর্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ‍দ্বিতীয় রাশি ও তৃতীয় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। চারটি রাশির প্রত্যেকটিকে সমানুপাতী বলে। যেমন-
৯ : ৬ :: ৬ : ৪ বা ৯ : ৬ = ৬ : ৪ একটি সমানুপাতী। ৯ : ৬ : ৪ প্রকাশ করে একে আবার ধারাবাহিক অনুপাতও বলে। এখানে, ৯ ও ৪ হল প্রান্তীয় রাশি এবং ৬ ও ৬ হল মধ্য রাশি।

১) চারটি রাশি সমানুপাতী হলে প্রান্তীয় রাশির গুণফল মধ্যরাশির গুণফলের সমান হয়। যেমন-
৯ : ৬ = ৬ : ৪ একটি সমানুপাতী। এখানে, ৯ ও ৪ হল প্রান্তীয় রাশি এবং ৬ ও ৬ হল মধ্য রাশি। ৯ X৪ = ৩৬ এবং ৬X৬ = ৩৬।

২) চারটি রাশি সমানুপাতী হলে অনুপাত দুইটির ব্যস্ত অনুপাত দুইটিও সমান হয়। যেমন-
৯ : ৬ = ৬ : ৪ একটি সমানুপাতী। এদের ব্যস্ত অনুপাত ৬ : ৯ = ৪ : ৬ বা ২ : ৩ = ২ : ৩। [প্রথম অনুপাতকে ৩ ও দ্বিতীয় অনুপাতকে ২ দিয়ে ভাগ করে]

৩) চারটি রাশি সমানুপাতী হলে প্রথম রাশি ও তৃতীয় রাশির অনুপাত এবং দ্বিতীয় রাশি ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়। যেমন-
৯ : ৬ = ৬ : ৪ একটি সমানুপাতী।  তাহলে ৯ : ৬ = ৬ : ৪ বা ৩ : ২ = ৩ : ২। [ প্রথম অনুপাতকে ২ ও দ্বিতীয় অনুপাতকে  ৩ দিয়ে ভাগ করে]


[সংকলিত]


[Keyword: গাণিতিক যুক্তি, পাটিগণিত, গণিতের সহজ সমাধান, Patiganit, Ganit, Ganitik yukti, Ganitik Jukti, Onupat, Anupat, Samanupat, Mishra Anupat, Besta Anupat]


 

Add a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *